В работе представлены методы математического анализа в применении к прикладным задачам теории переноса слошных сред – тепловых потоков и вязких жидкостей в сетеподобных объектах. Ставится и изучается начально-краевая задача для дифференциальной системы Навье-Стокса, которая лежит в основе математического описания (математической модели) так называемых турбулентных процессов транспортировки ньютоновых жидкостей с заданной вязкостью. При этом предполагается, что жидкость со сложной внутренней реологией и является многофазной сплошной средой. Отличительная особенность рассматриваемого процесса – это отсутствие классического дифференциального уравнения в узловых местах сетеподобной области (поверхностях попарного примыкания подобластей). Представлены достаточные условия однозначной слабой разрешимости начально-краевой задачи, которые получены классическим анализом приближений точного решения с помощью априорных оценок, вытекающих из энергетического неравенства для норм решений уравнения Навье-Стокса. Рассмотрена оптимизационная задача, естественная в анализе процессов переноса сплошных сред по сетеподобному носителю. Указаны пространства состояний системы Навье-Стокса, пространства управлений и наблюдений, для которых доказана единственность решения оптимизационной задачи. Представленный подход и ему соответствующие методы оснащены необходимым алгоритмом и иллюстрированы примерами численного анализа тестовых задач. В основе анализа лежит классический подход изучения математических моделей процессов переноса сплошных сред. Работа ориентирована на развитие качественных и приближенных методов исследования математических моделей переноса сплошных сред различного типа.
This paper presents methods of mathematical analysis used to solve the applied problems of the theory of transport of solid media – thermal flows and viscous liquids in network-like objects. The initial-boundary problem for the Navier-Stokes system, which lies at the basis of the mathematical description of the so-called turbulent transport processes of Newtonian liquids with a given viscosity, is defined and studied. It is assumed that the liquid has a complex internal rheology and is a multi-phase continuous medium. The distinctive feature of the process under consideration is the absence of a classical differential equation at the node points of the network-like area (the surfaces of mutual adhesion of subdomains). Sufficient conditions for the unique weak solvability of the initial-boundary problem are presented, which are obtained by the classical analysis of approximations of the exact solution by means of a priori estimates derived from the energy inequality for norms of solutions of the Navier-Stokes equation. An optimization problem, which is natural in the analysis of transport processes of continuous media on a network-like carrier, is considered. The state spaces of the Navier-Stokes system, spaces of controls and observations, for which the uniqueness of the solution of the optimization problem is proved, are indicated. The suggested approach and corresponding methods are equipped with the necessary algorithm and illustrated by the examples of numerical analysis of test problems. The basis of the analysis lies in the classical approach to studying mathematical models of transport processes of continuous media. The paper is aimed at developing qualitative and approximate methods for investigating mathematical models of various types of continuous media transport.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.