Математическая модель конкуренции за ограниченный ресурс в экосистемах: численное и аналитическое исследование устойчивости

В работе исследуется динамика взаимодействия двух видов, конкурирующих за ограниченный ресурс, с использованием построенной математической модели, представляющей собой автономную в нормальном виде систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель построена на основе принципа Гаузе, гипотез Вольтерра, теории конкуренции за ресурсы Тильмана и уравнения Михаэлиса-Ментен для описания роста популяций. Система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений анализируется на устойчивость в стационарных точках с использованием аналитического метода по первому приближению, предложенного А.А. Ляпуновым и пригодного для исследования систем, состоящих из двух и более уравнений, а также аналитически и численно решается для различных значений параметров модели. Результаты показывают, что выживание и сосуществование видов зависят от уровня лимитирующего ресурса, соотношения коэффициентов рождаемости и смертности и внутривидовой конкуренции, а также концентрации субстрата. Численные симуляции соответствуют сценариям вымирания одного из видов, доминирования одного вида или их сосуществование в зависимости от условий среды. Полученные в работе результаты согласуются с естественными экологическими взаимосвязями и подчеркивают важность учета антропогенных факторов, таких как эвтрофирование, при прогнозировании изменений в экологических системах.

1. Yanez-Montalvo A., Aguila B., Gómez-Acata E.S., Guerrero-Jacinto M., Oseguera L.A., Falcón L.I., Alcocer J. Shifts in Water Column Microbial Composition Associated to Lakes with Different Trophic Conditions: "Lagunas de Montebello" National Park, Chiapas, México. PeerJ. 2022;10(1). https://doi.org/10.7717/peerj.13999

2. Xie G., Zhang Yu., Gong Yi, Luo W., Tang X. Extreme Trophic Tales: Deciphering Bacterial Diversity and Potential Functions in Oligotrophic and Hypereutrophic Lakes. BMC Microbiology. 2024;24. https://doi.org/10.1186/s12866-024-03488-x

3. Bukin Yu.S., Bondarenko N.A., Rusanov I.I., et al. Interconnection of Bacterial and Phytoplanktonic Communities with Hydrochemical Parameters from Ice and Under-Ice Water in Coastal Zone of Lake Baikal. Scientific Reports. 2020;10. https://doi.org/10.1038/s41598-020-66519-3

4. Verkhozina V.A., Verkhozina E.V., Verkhoturov V.V. Evaluation of Results of Changes in Bacterial Strains in Ecosystem of Lake Baikal. In: IOP Conference Series: Materials Science and Engineering: International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety, 25–27 September 2019, Chelyabinsk, Russia. IOP Publishing; 2019. https://doi.org/10.1088/1757-899X/687/6/066019

5. Wilburn P., Shchapov K., Theriot E.C., Litchman E. Environmental Drivers Define Contrasting Microbial Habitats, Diversity, and Community Structure in Lake Baikal, Siberia. [Preprint]. bioRxiv. URL: https://doi.org/10.1101/605899 [Accessed 5th February 2025].

6. Timoshkin O.A., Samsonov D.P., Yamamuro M., et al. Rapid Ecological Change in the Coastal Zone of Lake Baikal (East Siberia): Is the Site of the World's Greatest Freshwater Biodiversity in Danger? Journal of Great Lakes Research. 2016;42(3):487–497. https://doi.org/10.1016/j.jglr.2016.02.011

7. Белых О.И., Гладких А.С., Сороковикова Е.Г., Тихонова И.В., Потапов С.А., Бутина Т.В. Сакситоксин-продуцирующие цианобактерии в озере Байкал. Сибирский экологический журнал. 2015;22(2):229–237.

8. Сороковикова Е.Г., Тихонова И.В., Найданова Я.А., Белых О.И. Идентификация цианобактерий-продуцентов микроцистина в планктоне озера Байкал и Иркутского водохранилища. Limnology and Freshwater Biology. 2024;(4):1101–1108. https://doi.org/10.31951/2658-3518-2024-A-4-1101

9. Белых О.И., Фёдорова Г.А., Кузьмин А.В., Тихонова И.В., Тимошкин О.А., Сороковикова Е.Г. Обнаружение микроцистинов в цианобактериальных обрастаниях различных субстратов прибрежной зоны озера Байкал. Вестник Московского университета. Серия 16. Биология. 2017;72(4):262–269.

10. Tikhonova I., Kuzmin A., Fedorova G., et al. Toxic Cyanobacteria Blooms of Mukhor Bay (Lake Baikal, Russia) During a Period of Intensive Anthropogenic Pressure. Aquatic Ecosystem Health & Management. 2022;25(4):85–97. https://doi.org/10.14321/aehm.025.04.85

11. Jørgensen S.E., Fath B.D. Fundamentals of Ecological Modelling: Applications in Environmental Management and Research. The Netherlands: Elsevier; 2011. 399 p.

12. Malthus Th.R. An Essay on the Principle of Population, as it Affects the Future Imporvement of Society, with Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet, and Other Writers. London: J. Johnson; 1798. 430 p.

13. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. Baltimore: Williams & Wilkins Company; 1925. 495 p.

14. Volterra V. Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la Vie. Paris: Gauthier-Villars; 1931. 222 p. (In French).

15. Gauze G.F. The Struggle for Existence. Baltimore: Williams & Wilkins Company; 1934. 188 p.

16. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. Проблемы кибернетики. 1972;25(2):101–106.

17. Tilman D. Resource Competition and Community Structure. Princeton: Princeton University Press; 1982. 296 p.

18. Verhulst P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Correspondance Mathématique et Physique. 1838;10:113–121. (In French).

19. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований; 2003. 368 с.

20. Johnson K.A., Goody R.S. The Original Michaelis Constant: Translation of the 1913 Michaelis-Menten Paper. Biochemistry. 2011;50(39):8264–8269. https://doi.org/10.1021/bi201284u

21. Monod J. The Growth of Bacterial Cultures. Annual Review of Microbiology. 1949;3:371–394. https://doi.org/10.1146/annurev.mi.03.100149.002103

22. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Москва: Издательство Академии наук СССР; 1956. 473 с.

23. Virtanen P., Gommers R., Oliphant T.E., et al. SciPy 1.0: Fundamental Algorithms for Scientific Computing in Python. Nature Methods. 2020;17:261–272. https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2

24. Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge-Kutta Formulae. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980;6(1):19–26. https://doi.org/10.1016/0771-050X(80)90013-3

25. Harris Ch.R., Millman K.J., Van Der Walt S.J., et al. Array Programming with NumPy. Nature. 2020;585:357–362. https://doi.org/10.1038/s41586-020-2649-2

26. Waskom M.L. Seaborn: Statistical Data Visualization. Journal of Open Source Software. 2021;6(60).

27. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы. Доклады Академии наук СССР. 1937;14(5):247–250.